Вы находитесь здесь: Главная > Конденсаторы > 575 изменение энергии конденсатора при изменении его емкости

575 изменение энергии конденсатора при изменении его емкости

575 изменение энергии конденсатора при изменении его емкости 57.5 Изменение энергии конденсатора при изменении его емкости.

Энергия конденсатора находится в зависимости от его емкости. Потому при изменении емкости заряженного конденсатора будем изменяться его энергия. Запишем цепочку формул, определяющих энергию конденсатора

Попытаемся дать в общем виде ответ на вопрос: «Как зависит энергия конденсатора от его емкости?» Согласно первой формуле прямо пропорционально, согласно 2-ой — назад пропорционально, согласно третьей — вообщем не зависит!? Естественно, поставленный вопрос не корректен1. Поэтому, что энергия конденсатора зависит к тому же от его заряда, при этом во всех случаях прямо пропорционально квадрату заряда. Гласить же об изменении энергии конденсатора при изменении его емкости следует только при других данных критериях: остается ли неизменным заряд конденсатора, остается ли постоянным напряжение на конденсаторе?

Если изменение емкости происходит при постоянном заряде конденсатора (при всем этом меняется его напряжение), то для расчета энергии следует использовать формулу W = q2/(2C), которая показывает, что повышение емкости приводит к уменьшению энергии и, напротив, уменьшение емкости приводит к повышению энергии.

Если же изменение емкости происходит при неизменном напряжении (к примеру, когда конденсатор подключен к источнику неизменной ЭДС), то для расчета энергии и ее конфигурации необходимо использовать выражение W = CU2/2. В данном случае повышение емкости приводит к повышению энергии.

Разглядим сейчас те процессы, при которых такие конфигурации могут происходить, и проанализируем баланс энергии в этих процессах. Для упрощения расчетов и наглядности изложения возьмем тонкий воздушный конденсатор с параллельными пластинами площади S. Изменение емкости конденсатора будем проводить, изменяя расстояние меж пластинами. При всем этом будем считать, что размеры пластинок существенно превосходят расстояние меж ними, что позволяет пренебречь краевыми эффектами, другими словами считать электронное поле E меж пластинами однородным (рис. 553).

Электронная емкость такового конденсатора равна

где h — расстояние меж пластинами. Из формулы (2) следует, повышение расстояния меж пластинами приводит к уменьшению его емкости.

Поначалу разглядим случай, когда заряд конденсатора остается постоянным, т. е. когда, конденсатор зарядили и отключили от источника.

Итак, конденсатор заряжен, заряды каждой пластинки схожи по модулю и равны qo и обратны по знаку. На уровне мыслей раздвинем пластинки. При всем этом емкость конденсатора уменьшилась, как следует, его энергия возросла. Отменно результат понятен: пластинки имеют заряды обратного знака, как следует, они притягиваются друг к другу. Чтоб раздвинуть пластинки, нужно приложить некую внешнюю силу F и совершить работу. Эта работа и будет равна изменению энергии конденсатора.

Облачим сейчас эти высококачественные рассуждения в строгие математические расчеты.

Пусть изначальное расстояние меж пластинами равно ho. В данном случае энергия конденсатора равна

Найдем силу притяжения меж пластинами. Сила, действующая на одну пластинку, равна

где qo — заряд этой пластинки E/ — напряженность поля, создаваемого зарядами другой пластинки.

рис. 553

Понятно, что напряженность этого поля вдвое меньше напряженности суммарного поля Eo меж пластинами, потому что последнее создается зарядами обеих пластинок. Пренебрегая краевыми эффектами (другими словами, считая пластинку нескончаемой), запишем выражение для напряженности поля

где &sigma — = qo/S — поверхностная плотность заряда на каждой пластинке.

Таким макаром, сила, действующая на одну пластинку, равна

Отметим, в этом случае эта сила постоянна, от расстояния меж пластинами не зависит2.

Заметим, что формально эту формулу можно получить еще проще, используя выражение (1) и известную связь меж силой и возможной энергией F = — W/ (сила равна производной от возможной энергии, взятой с обратным знаком).

Вобщем, эту связь, правда, в оборотном направлении мы использовали в одном из выводов формулы для энергии заряженного конденсатора.

Формуле (6) можно придать другой вид, если выразить силу через напряженность электронного поля Eo = 2E/ при помощи формулы (5)

Любопытно отметить, что давление электронного поля на проводящую платину в точности равно большой плотности энергии поля

575 изменение энергии конденсатора при изменении его емкостиПри этом этот вывод справедлив для проводника хоть какой формы: давление электронного поля на проводник равно плотности энергии электронного поля поблизости поверхности проводника.

Очередной аргумент в пользу этого утверждения давление и большая плотность энергии имеют схожую размерность

Только не нужно определять объемную плотность энергии в Паскалях!

рис. 554

При перемещении пластинки (увеличении расстояния) на величину &Delta-h эта наружняя сила совершит положительную работу

Эта работа пойдет на увеличении энергии конденсатора, которая станет равной

Понятно, что повышение энергии конденсатора равна повышению энергии электронного поля — возрос объем занятый полем, потому работа также может быть представлена в виде A = &Delta-W = w&Delta-V.

Таким макаром, мы проявили, что и в данном случае энергетический баланс сходится.

Разглядим сейчас тот же процесс при условии, что обкладки конденсатора подключены к источнику неизменной ЭДС (рис. 555).

рис. 555

Сейчас при изменении расстояния меж пластинами, остается постоянным напряжение

меж ними. Как следует, для расчета энергии конденсатора следует воспользоваться выражением

Как и в рассмотренном ранее примере, повышение расстояния меж пластинами приводит к уменьшению емкости конденсатора, и как следствие к уменьшению энергии конденсатора. В этом проявляется определенный феномен: разноименно заряженные пластинки притягиваются, при увеличении расстояния меж ними наружняя сила совершает положительную работу, но при всем этом энергия конденсатора не вырастает, а миниатюризируется! Вправду, изменение энергии конденсатора в данном случае равно

а потому что h1 > ho, то &Delta-WC < 0.

575 изменение энергии конденсатора при изменении его емкостиТаким макаром, данная неувязка просит более кропотливого анализа.

Колебаний в выполнимости закона сохранения энергии быть не должно, только нужно его использовать верно! Энергия сохраняется в замкнутой системе, а конденсатор такой не является — он же подключен к источнику ЭДС. При увеличении расстояния меж пластинами емкость конденсатора миниатюризируется, потому миниатюризируется заряд на пластинках, которому некуда деться, не считая как возвратиться вспять, в источник. Их возращению препятствуют посторонние силы (вспомните — посторонние силы источника стремятся «вытолкнуть заряды из источника), потому при возвращении зарядов энергия источника увеличивается. Таким макаром, при раздвигании пластинок конденсатора происходит подзарядка источника, а энергия, переданная средством совершенной работы, перебегает в энергию источника. Не считая того, энергия поля в конденсаторе также миниатюризируется, потому эта «потеря» энергии также перебегает в источник. Другими словами, при перемещении пластинки наружняя сила не только лишь совершает работу по подзарядке источника, да и «заставляет» электронное поле возвратить часть собственной энергии. Схематически потоки энергии в этом процессе показаны на рис. 556.

рис. 556

Подтвердим проведенные рассуждения расчетами энергетического баланса и покажем, что он точно производится. Силу притяжения меж пластинами выразим через неизменное напряжение меж пластинами

575 изменение энергии конденсатора при изменении его емкостиВ этом случае эта сила находится в зависимости от расстояния меж пластинами. Потому для расчета работы нужно разбить процесс движения пластинки на малые участки и потом просуммировать работы на этих участках. Чтоб избежать этой массивной математической процедуры, будем считать, что смещение &Delta-h не достаточно так, что можно пренебречь конфигурацией силы притяжения. В этом приближении работа наружной силы будет равна

Преобразуем также выражение для конфигурации энергии конденсатора с учетом малости смещения. Запишем h1 = ho + &Delta-h и подставим в формулу (9)

В конце концов, найдем работу по зарядке источника, которая равна произведению «вернувшегося» заряда на ЭДС источника (которая равна напряжению конденсатора):

Итак, проведенный расчет стопроцентно подтверждает изготовленные ранее заключения: повышение энергии источника (что равносильно — работа по его подзарядке) равно сумме работы наружной силы и уменьшения энергии поля конденсатора

Увлекательна роль наружной силы, раздвигающей пластинки конденсатора: она и сама работу совершает и принуждает работать конденсатор!

Задание для самостоятельной работы.

1. Обоснуйте, что в рассмотренном процессе энергетический баланс производится при любом (не малом) смещении пластинки. В качестве подсказки — направьте внимание, что сила притяжения меж пластинами в этом случае находится в зависимости от расстояния меж ними так же, как в законе Кулона и законе глобального тяготения!

575 изменение энергии конденсатора при изменении его емкостиДля того, что выстроить гидродинамические аналогии рассмотренных процессов конфигурации емкости заряженных конденсаторов, нам нужно сконструировать аналог переменного конденсатора. Все рассмотренные ранее «гидравлические конденсаторы» являлись вертикальными сосудами, при этом их «емкость» была пропорциональна площади дна сосуда. Как следует, аналогом переменного конденсатора может служить сосуд, одна из стен которого подвижна3. При уменьшении площади сосуда миниатюризируется его «емкость». В рассмотренных электростатических примерах, напротив, уменьшению емкости конденсатора соответствует повышение расстояния меж его пластинами.

Пусть сейчас в нашем сосуде находится некий объем воды, уровень которой равен ho (рис. 557).

рис. 557

Чтоб сдвинуть подвижную стену, к ней нужно приложить некую внешнюю силу F. Если объем воды в сосуде сохраняется, то при смещении стены ее уровень увеличивается, как следует, возрастает ее энергия.

Сравните: при постоянном объеме воды (электронном заряде) уменьшение площади сосуда (емкости конденсатора) под действием наружной силы приводит к возрастанию уровня воды (разности потенциалов) и гидростатической энергии воды (электростатической энергии поля).

575 изменение энергии конденсатора при изменении его емкостиМожно ждать, что повышение возможной энергии воды равно работе наружной силы. Найдем зависимость этой силы от расстояния x меж подвижной и недвижной стенами. Эта сила равна произведению среднего давления воды на подвижную стену

на площадь соприкосновения ее с жидкостью ah. Не считая того нужно использовать условие всепостоянства объема воды

В конечном итоге для силы получим последующее выражение

Эта сила переменна, потому для вычисления работы нужно, или рассматривать малые смещения, или использовать аналогию с Законом Кулона — ведь и тут сила назад пропорциональна расстоянию!

575 изменение энергии конденсатора при изменении его емкостиСоветуем провести расчет баланса энергий без помощи других.

575 изменение энергии конденсатора при изменении его емкостиЕсли конденсатор подключен к источнику неизменной ЭДС, то напряжение меж его обкладками поддерживается неизменным.

рис. 558

В гидростатической аналогии нужно в данном случае гласить о неизменной высоте уровня воды в сосуде. В качестве устройства, поддерживающего неизменный уровень следует использовать наш гидравлический аналог ЭДС — насос, поддерживающий неизменной давление. При смещении подвижной стены в данном случае наружняя сила также совершает положительную работу, но возможная энергия воды в сосуде миниатюризируется, потому что миниатюризируется ее объем при постоянной высоте уровня. Под действием этой наружной силы часть воды из сосуда заталкивается в резиновую грушу, при всем этом энергия последней растет. Повышение ее энергии равно сумме работы наружной силы и уменьшения возможной энергии воды в сосуде.

Сравниваем: при неизменном уровне воды в сосуде (напряжении конденсатора) уменьшение площади дна (емкости конденсатора) под действием наружной силы приводит к возвращению части воды (электронного заряда) в резиновый сосуд, поддерживаемый при неизменном давлении (источник неизменной ЭДС). При всем этом повышение энергии воды в резиновом сосуде неизменного давления (источника ЭДС) равно сумме работы наружной силы и уменьшения возможной энергии воды в сосуде (энергии конденсатора).

575 изменение энергии конденсатора при изменении его емкостиТакже советуем без помощи других провести расчет баланса энергии в данном случае — он сходится! Это задание проще, потому что в данном случае наружняя сила должна быть неизменной.

Электроемкость конденсатора также зависит от диэлектрической проницаемости вещества, находящегося меж обкладками. Потому емкость конденсатора можно изменять, меняя вещество, находящееся меж обкладками. Пусть, к примеру, меж обкладками плоского конденсатора находится диэлектрическая пластинка. Если конденсатор заряжен, то для извлечения пластинки нужно приложить к ней внешнюю силу и совершить положительную работу. Механизм появления силы, действующей на пластинку со стороны электронного поля, проиллюстрирован на рис. 559.

рис. 559

При ее смещении вначале однородное рассредотачивание зарядов на обкладках конденсатора и поляризационных зарядов на пластинке искажается. Как следствие этого перераспределения зарядов искажается и электронное поле, потому возникаю силы, стремящиеся втянуть пластинку вовнутрь конденсатора.

575 изменение энергии конденсатора при изменении его емкостиРасчет этих сил сложен, но энерго свойства происходящих процессов могут быть найдены без особенного труда. С формальной точки зрения, не принципиально чем вызваны конфигурации емкости конденсатора, потому можно пользоваться всеми рассуждениями и выводами предшествующего раздела, как для варианта изолированного конденсатора (при сохранении заряда), так для конденсатора присоединенного к источнику неизменной ЭДС.

1Аналогичный вопрос можно задать по поводы зависимости мощности теплоты, выделяющейся на участке цепи, при протекании электронного тока. Закон Джоуля-Ленца можно представить в 3-х формах

потому идиентично обусловлено можно утверждать, что эта мощность: а) пропорциональна сопротивлению участка — б) назад пропорциональна сопротивлению — в) от сопротивления не зависит!

2К огорчению, время от времени для вычисления силы взаимодействия меж заряженными телами (не вещественными точками) используют закон Кулона. Так при его использовании в этом случае получают итог

который даже отменно неверен, даже вид зависимости от расстояния не тот!

3Придется поменять радиальный цилиндр на параллелепипед — аквариум с подвижной стеной, так как у цилиндра тяжело отыскать «одну из стенок»!

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • Twitter
  • RSS

Оставить комментарий

Подтвердите, что Вы не бот — выберите самый большой кружок: